De wiskunde is nog lang niet af

Topwetenschappers
3

Beroemde mijlpalen binnen de wiskunde stammen uit een ver verleden. Bij veel mensen bestaat dan ook het beeld dat de wiskunde af is. Toch is het vakgebied springlevend. Het vervult alleen –heel bescheiden– een rol op de achtergrond.

Pythagoras, Pascal, Newton, Euler, Turing. Dergelijke grote namen staan stuk voor stuk in de geschiedenisboeken. De Eindhovense wiskundige en hoogleraar Remco van der Hofstad begrijpt dan ook dat bij het grote publiek het beeld bestaat dat de wiskunde afgerond is. „Maar het is aantoonbaar niet waar. Bijvoorbeeld: de laatste stelling van Fermat is een berucht wiskundig probleem dat al meer dan 300 jaar oud is. De Brit Andrew Wiles bewees deze stelling in 1994.”

Wiskunde blijft dus in ontwikkeling. Van der Hofstad noemt andere voorbeelden. Zo formuleerde de Duitser David Hilbert in 1900 23 wiskundige problemen. Hij daagde wetenschappers uit die voor 2000 op te lossen. Vier ervan zijn tot op heden nog een volledig raadsel. „En in het jaar 2000 zijn er zeven millenniumchallenges –wiskundige vragen– opgesteld waarmee je 1 miljoen dollar kunt verdienen.” Eén ervan is ontrafeld.

„De wiskunde is een bouwwerk dat net als alle andere disciplines in beweging is”, stelt Van der Hofstad. „Toen ik promovendus was, vroeg ik me weleens af of er een moment zou komen dat we alles zouden weten. Maar naarmate je meer weet, besef je beter hoe weinig je weet. Elk onderzoek dat antwoorden oplevert, roept weer twee of drie nieuwe vragen op.”

Waar komt zo’n beeld over de wiskunde vandaan?

„Dat ligt deels aan het onderwijs. In wiskundelessen krijg je een vraag voorgelegd die je moet oplossen met behulp van een bepaalde formule of methodologie. En natuurlijk is elke vraag ook op te lossen. Je komt zelden in een situatie dat je alleen een vraag krijgt en je niet eens weet of er een oplossing is. Terwijl dát echt wiskunde is. Wij zijn bezig met basale vragen en hebben hoogstens een vermoeden hoe het antwoord eruit moet gaan zien.”

Wat is de bijdrage van de wiskunde aan de maatschappij in de afgelopen vijftig jaar?

Van der Hofstad laat een rapport uit 2014 zien met de titel: ”Mathematical sciences and their value for Dutch economy”. „Hierin is becijferd dat van ons bruto nationaal product 30 procent direct of indirect samenhangt met wiskunde.

Hierbij gaat het wel om wiskunde in de brede zin, dus ook om bijvoorbeeld mathematica in de natuurkunde of in technische studies. Of de medische wetenschap, waar statistiek belangrijk is als het gaat om het testen van medicijnen. Denk ook aan de logistiek. En chargerend zou je zelfs kunnen stellen dat wiskunde de taal van de ingenieur is.

Op 18 februari wordt er in Amsterdam een congres gehouden over ”The era of mathematics”, over de rol van de wiskunde in de samenleving.”

Kunt u een hoogtepunt noemen uit de afgelopen decennia?

„Navigatiesystemen zoals TomTom werken op basis van het Dijkstra-algoritme. Edsger Dijkstra (1930-2002, MK) was een Nederlandse wiskundige en informaticus in Eindhoven. Het algoritme vindt het kortste pad tussen twee punten en is een van de beroemdste algoritmes ter wereld. Daarmee komen we op een belangrijk punt wat betreft de bijdrage van de wiskunde aan de samenleving. Algoritmen zijn feitelijk wiskundige recepten om een computer aan het werk te zetten. Dus zonder algoritmen geen computers.”

Van der Hofstad pakt een ander boekje erbij. Het beschrijft de verworvenheden in wiskundeland. „Neem de MRI-scanner, het oppompen van olie of de productie van flessen. Bij alles komt wiskunde om de hoek kijken. Sowieso levert elke nieuwe technische toepassing weer nieuwe wiskundige vragen op, zoals internet of navigatie.

De wiskundige en Spinozaprijswinnaar Lex Schrijver vatte het eens zo samen: Wiskunde is als zuurstof. Je neemt aan dat het er is, en als het er niet meer is, dan hebben we een groot probleem.”

Waarop spitst uw eigen onderzoek zich toe?

„Ik ben een kansrekenaar, dat betekent dat ik modellen bestudeer waarin toeval een rol speelt. Dat kan heel praktisch zijn. Toeval gebruiken we in de wiskunde voor complexe zaken uit de werkelijkheid die sterk variabel zijn. Zoals mobieletelefoongebruikers die wel of niet bellen of het ontstaan van files. Zelf richt ik me op netwerken. Bij netwerken kun je denken aan van alles en nog wat, als het maar met elkaar verbonden is: computers, webpagina’s of Facebookvrienden. Voor dat soort netwerken maak ik kansrekeningsmodellen, bijvoorbeeld voor hoe een gerucht of ziekte zich zal verspreiden of hoe zaken efficiënter kunnen.”

Modellen in de wetenschap staan regelmatig onder kritiek. Denk aan klimaatmodellen. Hoe kijkt u daarnaar?

„Natuurlijk, modellen bevatten aannames. En uiteindelijk zijn de conclusies van een onderzoek zo betrouwbaar als dat het model goed was.

Maar ik wil me sterk verzetten tegen de bewering die soms klinkt dat wetenschappers ook maar een mening vertolken. Nee, achter wetenschappelijke modellen zit meer dan een mening. Er zit een methodologie en veel theorie achter. Die is reproduceerbaar en je kunt het onderzoek en de aannames die gedaan zijn dus checken. Regelmatig signaleren we foutjes of komen we erachter dat de werkelijkheid anders in elkaar zit dan we dachten, dan moeten we modellen of theorieën aanpassen. Dát is vooruitgang, en daar staat de wetenschap voor.

Maar redeneren dat er nu een koude winter en er dus geen opwarming van de aarde is –iets wat Trump doet– dat is te simpel.”

U geniet van wiskunde.

Met een grote grijns: „Ja, wiskunde is mooi, is leuk. Wiskunde heeft een bepaalde schoonheid in zich. Net zoals een debater blij wordt van een krachtig argument, zo geniet een wiskundige van een helder geformuleerd bewijs voor een stelling. In tegenstelling tot andere vakgebieden worden stellingen in de wiskunde soms wel tien keer bewezen. Het ene bewijs is nog eleganter dan het andere. Je kunt het haast kunst noemen. Iedere wiskundige zoekt die natuurlijke schoonheid en probeert zo mooi en zo duidelijk mogelijk te formuleren. Het lukt niet altijd, maar als het lukt, geeft dat pure euforie.”

Wat zijn de grootste uitdagingen waar wiskundigen aan werken?

„In mijn vakgebied is het de uitdaging om netwerken efficiënter te laten functioneren. Zo was onlangs in het nieuws dat de elektriciteitsnetten in Groningen en Drenthe overbelast raken door de vele zonneparken die worden aangesloten. Collega’s van mij werken met modellen om te onderzoeken hoe je het evenwicht in het energienetwerk kunt behouden en vraag en aanbod slim op elkaar kunt afstemmen om zo overbelasting te voorkomen.

In Europa moeten we daarnaast bijblijven als het gaat om kunstmatige intelligentie. We raken steeds verder achter ten opzichte van de Verenigde Staten. Specialisten worden weggekocht door grote techbedrijven, met een braindrain tot gevolg. Daarom zijn er investeringen nodig.

Kwantumcomputers en internetveiligheid zijn andere in het oog springende uitdagingen. Die twee hebben ook alles met elkaar te maken. Want hoe kun je data beschermen tegenover de enorme rekenkracht die deze computers hebben? Om onze data veilig te houden zullen nieuwe encryptie-algoritmen moeten worden bedacht. En daar komt zware wiskunde bij kijken.”

Prof. dr. Remco van der Hofstad. beeld RD, Anton Dommerholt

Remco van der Hofstad

Prof. dr. R. W. van der Hofstad is hoogleraar kansberekening aan de Technische Universiteit Eindhoven (TUE). Sinds 2018 is hij lid van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW). Naast zijn werk aan de TUE is Van der Hofstad wetenschappelijk directeur van Eurandom, het Nederlandse centrum dat zich richt op statistiek, kansrekening en onderzoek naar stochastische operaties. Hij is hoofdredacteur van de online wetenschapscommunity Network Pages en was jarenlang woordvoerder van het Platform Wiskunde Nederland. Van der Hofstad ontving in 2003 en 2007 prijzen voor zijn onderzoek en kreeg in respectievelijk 2003 en 2008 een Vidi- en een Vici-beurs toegewezen.

----

Om te onthouden

*Wiskunde kent vele hoofd- en deelgebieden. Bekende zijn algebra, analyse, kansberekening, meetkunde, logica, statistiek.

*Wiskunde maakt gebruik van strikt logische redeneringen. Als dit, dan dat.

*Wiskundige beweringen die bewezen juist zijn, heten stellingen, denk aan de stelling van Pythagoras. De redenering die aantoont dat een stelling waar is, heet een wiskundig bewijs.

*De laatste stelling van Fermat is een wiskundig probleem dat honderden jaren oud is en pas in 1994 is bewezen. Van der Hofstad legt de stelling uit: „Iedereen kent de stelling van Pythagoras voor een rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2. Dus 32 + 42 = 52. Er zijn oneindig veel gehele oplossingen voor deze vergelijking, zoals de Babyloniërs al wisten. *Wat nu als je de macht in de formule aanpast? Van een twee in een drie? Zijn er ook gehele getallen –a, b en c– waarvoor geldt, a3 + b3 = c3? De stelling van Fermat zegt dat dit niet zo is. De Brit Andrew Wiles bewees dat voor alle gehele machten groter dan of gelijk aan 3. Dit bewijs is honderden pagina’s lang.”

*Wiskunde is meer dan rekenen en tellen. Een wiskundige probeert de werkelijkheid te vatten in cijfers, vergelijkingen en modellen. Bijvoorbeeld een model van een verkeersopstopping voor een stoplicht.

*Vervolgens proberen wiskundigen op basis van die modellen zo goed mogelijke uitspraken te doen over (de verbetering van) die werkelijkheid. Bijvoorbeeld het beter afstemmen van de stoplichten op het verkeer.

*Als opgedane kennis uit de wiskunde wordt toegepast in andere wetenschappen of in technieken, heet het toegepaste wiskunde. Dit staat tegenover zuivere wiskunde.

----

Drie stellingen

1. Geloof speelt geen enkele rol in de uitoefening van mijn beroepspraktijk.

„Mee eens. Ik ben zelf niet gelovig. Maar het brengt me bij een interessante filosofische vraag: vinden wij wiskundige waarheden en structuren die er al zijn, of maken wij die zelf? Zou dat eerste kunnen betekenen dat die wiskundige structuren door God zijn gemaakt? Daar heb ik geen antwoord op.”

2. Een Bijbelgetrouwe christen loopt tegen spanningsvelden aan als hij werkzaam is in mijn vakgebied.

„Ik denk dat dat meevalt. Je loopt in de wiskunde niet zo snel tegen ethische problemen aan. Zodra je naar toepassingen gaat kijken, kan het anders worden. Er is behoorlijk stevige wiskunde uitgevoerd voor het bouwen van de atoombom. En je kunt wiskunde ook gebruiken om te hacken. Kennis is macht en kan dus op allerlei manieren misbruikt worden.”

3. Elke wetenschapper kijkt met zijn eigen –levensbeschouwelijk gekleurde– bril naar zijn vakgebied.

„Ja, dat is altijd zo. Want er is niet één waarheid. Welke vragen je als wetenschapper stelt en hoe belangrijk je ze vindt, is een kwestie van smaak, een puur persoonlijke business. Als je een artikel instuurt naar een wetenschappelijk tijdschrift kan dat afgewezen worden omdat men de vraag niet interessant vindt. Heel subjectief.”