Nelissen, afkomstig uit Zeeuws-Vlaanderen, begon zijn carrière bij de Nederlandse Katholieke Middenstandersbond. In 1963 werd hij lid van de Tweede Kamer voor de Katholieke Volkspartij (KVP). Begin 1970 werd hij minister van Economische Zaken in het kabinet-De Jong, als opvolger van Leo de Block die tussentijds was afgetreden na ophef over de btw. In de twee kabinetten-Biesheuvel (1971-1973) was Nelissen minister van Financiën en was hij daarnaast vicepremier.

In 1973 stapte Nelissen uit de politiek. Hij trad in dienst van AMRO Bank en werd daar de topman. Met zijn tegenhanger van ABN, Rob Hazelhoff, legde hij begin negentiger jaren de basis voor de fusie van de twee banken, die in september 1991 werd beklonken.

Nelissen vervulde tal van commissariaten en bijbanen. In 1996 was hij medeoprichter van het Republikeins Genootschap.