Hij is de opvolger van Rowan Douglas Williams, die aartsbisschop van Canterbury werd. Morgan (1947) studeerde aan University College te Londen en Selwynn College te Cambridge. In 1986 werd hij doctor in de filosofie aan de Universiteit van Wales.

Na zijn wijding tot deken, in 1972, en tot priester, in 1973, werkte Morgan als hulpprediker in de parochie van St. Andrews Major. Vervolgens werd hij kapelaan en docent aan St. Michael’s College en de Universiteit van Wales te Cardiff.

In 1986 werd hij benoemd tot aartsdeken van Meirionnydd en rector van Criccieth with Treflys. Bisschop van Bangor werd hij in 1993; in 1999 werd hij verkozen tot bisschop van Llandaff. Hij vertegenwoordigt de Kerk van Wales in de Wereldraad van Kerken.