De musicus, die in Amsterdam woonde, trad al sinds 2006 niet meer op. Hij gold als een van de beste cellisten ter wereld.

Bijlsma werd vooral bekend als vertolker van oude muziek en barokmuziek. Tweemaal nam hij de zes cellosuites van Bach op.

Hij was in de jaren vijftig en zestig verbonden aan de Nederlandse Opera en het Koninklijk Concertgebouworkest. Hij doceerde aan de conservatoria van Den Haag, Amsterdam, New York en Berlijn.

In 2014 werd hij benoemd tot ridder in de Orde van Nederlandse Leeuw. Ook werd toen een prijs naar hem vernoemd, de Anner Bijlsma Award.