Hij overleed in Amsterdam, maakte zijn familie bekend. De musicus trad al sinds 2006 niet meer op. Hij gold als een van de beste cellisten ter wereld. Bijlsma werd vooral bekend als vertolker van oude muziek en barokmuziek.

Bijlsma was in de jaren vijftig en zestig verbonden aan de Nederlandse Opera en van 1962 tot 1968 als eerste cellist werkzaam bij het Koninklijk Concertgebouworkest.

De musicus en onderzoeker was docent aan het Koninklijk Conservatorium in Den Haag, aan het conservatorium in Amsterdam en aan conservatoria in New York en Berlijn.

Tweemaal nam hij alle zes de cellosuites van Bach op, muziek waarover hij zijn opvatting steeds opnieuw bijstelde en waarover hij ook een boek schreef.

In 2014 werd hij benoemd tot ridder in de Orde van Nederlandse Leeuw. Ook werd toen een prijs naar hem vernoemd, de Anner Bijlsma Award. De prijs werd voor het eerst aan hemzelf uitgereikt. Vorig jaar ontving de Italiaanse cellist en componist Giovanni Sollima de oeuvreprijs van 50.000 euro. Bijlsma besloot het prijzengeld te besteden aan verschillende doelen, zoals onderzoeksprojecten op het gebied van oude muziek.