Pi blijkt al eeuwen verstopt in het waterstofatoom

beeld iStock

Het getal pi (3,14...) is voor de wiskunde ontzettend belangrijk. Het geeft de verhouding aan tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. En het heeft een opmerkelijke link met de kwantummechanica, zo bleek uit onderzoek dat in 2015 werd gepubliceerd in Journal of Mathematical Physics.

Het getal pi is al in de oudheid bekend. De Griekse wiskundige Archimedes (287-212 voor Chr.) beschrijft het als een getal ergens tussen 223/71 en 22/7. Maar ook uit de afmetingen van de koperen zee (1 Koningen 7:23, 960 voor Chr.) in de Bijbel is af te leiden dat pi ongeveer 3 moet zijn. In later tijd publiceren verschillende wiskundigen een formule om pi snel te berekenen. Een van hen was de Engelse wiskundige John Wallis. Hij beschrijft pi in 1655 als product van een oneindig aantal breuken.

Juist de trendmatigheid in de formule van Wallis brengt de Amerikaanse deeltjesnatuurkundige Carl Hagen van de University of Rochester (VS) in 2015 tot een verbluffende vondst: hij leidt een verband af tussen pi en de kwantummechanica.

De kwantummechanica beschrijft onder meer de energietoestanden van atomen en moleculen. De zogeheten grondtoestand is de laagste energietoestand. Wanneer er energie in een deeltje wordt gestopt, bijvoorbeeld met licht, komen deeltjes in een hoger energieniveau, een zogeheten aangeslagen toestand, terecht. Deze toestanden zijn gekwantiseerd: de aangeslagen toestand kan niet elke willekeurige waarde, maar slechts enkele vaste waarden aannemen. Deze energieniveaus zijn niet exact te bepalen, maar bevinden zich binnen een bepaalde bandbreedte.

Hagen besluit tijdens een van zijn colleges de kwantummechanische benadering toe te passen op het waterstofatoom. Dat is een van de zeldzame zogeheten kwantummechanische systemen waarvan de energieniveaus wel tamelijk nauwkeurig kunnen worden bepaald.

De hoogleraar ontdekt onmiddellijk een trend. „Bij lagere energieniveaus is de baan van het elektron vaag en uitgewaaierd. Bij hogere energieniveaus worden de banen van de elektronen duidelijker en vermindert de statistische onzekerheid over de plaats van het elektron.” In de formule die de banen van het elektron in waterstof beschrijft, ontdekt Hagen Wallis’ formule voor pi.

Om er zeker van te zijn dat zijn bewering klopt, schakelt Hagen Tamar Friedmann in, wiskundige aan de University of Rochester. Zij ontdekt dat het waterstofatoom exact Wallis’ formule laat zien voor pi. „Ik deed een vreugdedansje toen Wallis’ formule uit de vergelijking van het waterstofatoom rolde”, laat Friedmann weten.

De theorie van de kwantummechanica dateert uit het begin van de 20e eeuw en de formule van Wallis bestaat al eeuwen, maar de relatie tussen die twee was al die tijd verborgen gebleven. Friedmann: „Het bijzondere is dat er een wonderschone relatie blijkt tussen de kwantumnatuurkunde en de wiskunde.”